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Newton erklärt Infinitesimalrechnung - Geschichte


Isaac Newton veröffentlichte 1669 seine grundlegenden Theorien zur Infinitesimalrechnung.

Newton erklärt Infinitesimalrechnung - Geschichte

2. Geschichte des Differentials aus dem 17. Jahrhundert

Das Problem, die Tangente an eine Kurve zu finden, wurde von vielen Mathematikern untersucht, seit Archimedes diese Frage in der Antike untersuchte. Der erste Versuch, die Tangente an eine Kurve zu bestimmen, die der modernen Methode der Infinitesimalrechnung ähnelte, kam von Gilles Persone de Roberval in den 1630er und 1640er Jahren. Fast zur gleichen Zeit, als Roberval seine Methode entwickelte, benutzte Pierre de Fermat den Begriff der Maxima und des Infinitesimalen, um die Tangente an eine Kurve zu finden. Einige schreiben Fermat die Entdeckung des Differentials zu, aber erst als Leibniz und Newton ihre Tangentenmethode rigoros definierten, wurde eine verallgemeinerte Technik akzeptiert.

2.2 Robervals Methode der Tangentiallinien mit Momentanbewegung

Die Hauptidee hinter Robervals Methode zur Bestimmung der Tangente an eine Kurve war die Idee der Momentanbewegung. Das heißt, er betrachtete eine Kurve als durch einen beweglichen Punkt zu skizzieren. Wenn an irgendeinem Punkt einer Kurve die Vektoren der Bewegung bestimmt werden könnten, dann war die Tangente einfach die Kombination (Summe) dieser Vektoren.

Roberval wandte diese Methode an, um die Tangenten an Kurven zu finden, für die er die konstituierenden Bewegungsvektoren an einem Punkt bestimmen konnte. Für eine Parabel konnte Roberval solche Bewegungsvektoren bestimmen.

Abbildung 2.1 zeigt den Graphen einer Parabel, der die konstituierenden Bewegungsvektoren V1 und V2 an einem Punkt P zeigt. Roberval stellte fest, dass an einem Punkt P in einer Parabel zwei Vektoren für ihre momentane Bewegung verantwortlich sind. Der Vektor V1, der in die gleiche Richtung weist wie die Linie, die den Brennpunkt der Parabel (Punkt S) und den Punkt auf der Parabel (Punkt P) verbindet. Der andere Vektor, der die momentane Bewegung (V2) ausmacht, ist senkrecht zur y-Achse (das ist die Leitlinie oder die Linie senkrecht zu der Linie, die die Parabel halbiert). Die Tangente an den Graphen im Punkt P ist einfach die Vektorsumme V = V1 + V2.

Mit dieser Methodik konnte Roberval die Tangenten an zahlreiche andere Kurven einschließlich der Ellipse und Zykloide finden. Bei einer großen Anzahl von Kurven erwies sich jedoch das Auffinden der Vektoren, die die momentane Bewegung an einem Punkt beschreiben, als schwierig. Roberval war nie in der Lage, diese Methode zu verallgemeinern und existiert daher historisch nur als Vorläufer der Methode, Tangenten mithilfe von Infinitesimalen zu finden (Edwards 133-138).

Pierre De Fermats Methode zur Tangentenfindung wurde in den 1630er Jahren entwickelt und obwohl sie nie streng formuliert wurde, ist sie fast genau die Methode, die von Newton und Leibniz verwendet wurde. In Ermangelung eines formalen Begriffs einer Grenze konnte Fermat seine Arbeit nicht richtig begründen. Bei der Untersuchung seiner Techniken wird jedoch offensichtlich, dass er die Methode der heutigen Differenzierung genau verstanden hat.

Um Fermats Methode zu verstehen, ist es zunächst notwendig, seine Technik zum Finden von Maxima zu betrachten. Fermats erstes dokumentiertes Problem bei der Differenzierung bestand darin, die Maxima einer Gleichung zu finden, und es ist eindeutig diese Arbeit, die zu seiner Technik zum Finden von Tangenten führte.

Das von Fermat betrachtete Problem bestand darin, ein Liniensegment in zwei Segmente zu unterteilen, so dass das Produkt der beiden neuen Segmente ein Maximum war.

In Abbildung 2.2 wird ein Liniensegment der Länge a in zwei Segmente geteilt. Diese beiden Segmente sind x und (a - x). Fermats Ziel war es also, das Produkt x (a – x) zu maximieren. Sein Ansatz war damals mysteriös, aber mit dem heutigen Kenntnisstand der Grenzen ist Fermats Methode recht einfach zu verstehen. Fermat ersetzte jedes Vorkommen von x durch x + E und stellte fest, dass x und x + E gleich sind, wenn das Maximum gefunden ist. Daher hatte er die Gleichung:

Durch Vereinfachung beider Seiten der Gleichung und Aufhebung ähnlicher Terme reduziert Fermat sie:

An dieser Stelle sagte Fermat, es sei einfach E = 0, und als solches bleibt:

Dies besagt, dass jede Länge die Hälfte der Gesamtlänge des Liniensegments betragen sollte, um das Produkt der beiden Längen zu maximieren. Obwohl dieses Ergebnis richtig ist, enthält die Methode von Fermat mysteriöse Löcher, die nur durch aktuelle Erkenntnisse behoben werden können. Fermat lässt einfach E = 0, dann hätte er in dem Schritt, in dem er durch E dividiert, eine Division durch Null. Obwohl Fermat seine Methode formulierte, indem er E = 0 sagte, betrachtete er tatsächlich den Grenzwert von E, wenn er sich Null nähert (was erklärt, warum seine Algebra richtig funktioniert). Auch die Extrema-Methode von Fermat kann in modernen Begriffen verstanden werden. Indem er x durch x + E ersetzt, sagt er, dass f(x+E) = f(x) oder dass f(x+E) - f(x) = 0 ist. Da f(x) ein Polynom ist, ist dies Ausdruck durch E teilbar sein. Daher kann die Methode von Fermat als Definition der Ableitung verstanden werden (wenn sie zum Auffinden von Extrema verwendet wird):

Obwohl Fermat nie in der Lage war, eine logisch konsistente Formulierung zu treffen, kann seine Arbeit als Definition des Differentials interpretiert werden (Edwards 122-125).

Mit seinem mysteriösen E entwickelte Fermat eine Methode, um Tangenten an Kurven zu finden. Betrachten Sie den Graphen einer Parabel.

Fermat möchte eine allgemeine Formel für die Tangente an f(x) finden. Dazu zieht er die Tangente an einen Punkt x und betrachtet einen Punkt im Abstand E. Wie aus Abbildung 2.3 ersichtlich ist, besteht bei ähnlichen Dreiecken die folgende Beziehung:

Durch das Isolieren von s hat Fermat festgestellt, dass

Fermat lässt wieder die Größe E = 0 (in moderner Ausdrucksweise nahm er den Grenzwert, wenn E sich 0 näherte) und erkannte, dass der untere Teil der Gleichung mit seinem Differential in seiner Methode der Mimina identisch war. Um die Steigung einer Kurve zu bestimmen, brauchte er folglich nur f(x)/s zu finden. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung:

Wieder lässt Fermat E=0 und findet:

Zurück zur ursprünglichen Gleichung:

Hier wird die moderne Notation für die Ableitung f'(x) verwendet, die Fermat als gleich [f(x+E) - f(x)]/E erkannte, wenn er E=0 sei. Mit dieser Methode konnte Fermat eine allgemeine Regel für die Tangente an eine Funktion ableiten. Wie im Abschnitt Integration beschrieben, hatte Fermat nun eine allgemeine Regel für polynomielle Differentiation und Integration entwickelt. Es gelang ihm jedoch nie, die umgekehrte Beziehung zwischen den beiden Operationen zu erkennen, und die logischen Inkonsistenzen in seiner Begründung ließen seine Arbeit ziemlich unerkannt. Diese Formulierung wurde erst durch Newton und Leibniz möglich (Boyer 155-159).

Newton und Leibniz dienten dazu, drei wichtige Notwendigkeiten bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung zu erfüllen. Obwohl bereits Differenzierungs- und Integrationstechniken erforscht wurden, waren sie die ersten, die einen "algorithmischen Prozess" für jede Operation erklärten. Zweitens erkannten Newton und Leibniz trotz der Tatsache, dass Differenzierung und Integration bereits von Fermat entdeckt worden waren, ihre Nützlichkeit als allgemeines Verfahren. Das heißt, diejenigen vor Newton und Leibniz hatten Lösungen von Flächen- und Tangentenproblemen als spezifische Lösungen für bestimmte Probleme betrachtet. Niemand vor ihnen erkannte die Nützlichkeit der Infinitesimalrechnung als allgemeines mathematisches Werkzeug. Drittens, obwohl in früheren Arbeiten erkannt wurde, dass Differenzierung und Integration inverse Prozesse sind, waren Newton und Leibniz die ersten, die dies explizit aussprachen und rigoros bewiesen (Dubbey 53-54).

Newton und Leibniz näherten sich beide der Infinitesimalrechnung mit unterschiedlichen Notationen und unterschiedlichen Methoden. Die beiden Männer verbrachten den letzten Teil ihres Lebens im Streit darüber, wer für die Erfindung der Infinitesimalrechnung verantwortlich war und beschuldigten sich gegenseitig des Plagiats. Obwohl die Namen Newton und Leibniz mit der Erfindung der Infinitesimalrechnung verbunden sind, ist klar, dass die grundlegende Entwicklung bereits von anderen geschmiedet wurde. Obwohl die Verallgemeinerung der Techniken und das explizite Zeigen des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung keine leichte Aufgabe war, ist die Mathematik, die in ihre Methoden einbezogen ist, ähnlich wie die ihrer Vorgänger. Ihre Methoden sind hinreichend ähnlich, sodass die Besonderheiten ihrer Methoden den Rahmen dieser Arbeit sprengen würden. Von ihrer Mathematik her wird nur ihre Demonstration des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung diskutiert.

2.5 Die schwer fassbaren Inversen – das Integral und das Differential

Die Notation von Leibniz ähnelt am ehesten der in der modernen Infinitesimalrechnung und sein Ansatz zur Entdeckung der inversen Beziehung zwischen Integral und Differential wird untersucht. Obwohl Newton unabhängig zu derselben Schlussfolgerung gelangte, ist sein Weg zur Entdeckung für den modernen Leser etwas weniger zugänglich.

Leibniz definierte das Differential als

Leibniz kannte bereits aus den früheren Arbeiten Cavalieri die Techniken, den Bereich unterhalb einer Kurve zu finden. Leibniz entdeckte die inverse Beziehung zwischen Fläche und Ableitung, indem er seine Definition des Differentials nutzte.

Betrachten Sie den Graphen der Gleichung y = x 2 +1 :

Leibnizs Idee war, sein Differential auf die Flächenfunktion des Graphen anzuwenden. Erwägen Sie, ein D (Fläche) unter dem Kurvendiagramm hinzuzufügen. Die D (Fläche) wird durch das untere Rechteck PQRS mit der Fläche y(Dx) plus einem Bruchteil des oberen Rechtecks ​​SRUT definiert, dessen Fläche einfach Dx(Dy) ist. Mit anderen Worten, D (Fläche) liegt irgendwo zwischen y(Dx) und dem gesamten umschließenden Rechteck PQUT, dessen Fläche (y + Dy)(Dx) ist. Leibniz betrachtete dann das Verhältnis D (Fläche)/D x und sah, dass das Verhältnis zwischen y und (y + D y). Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass D x und D y eng miteinander verwandt sind. Das heißt, wenn sich D x 0 nähert, tut es auch D y. Das bedeutet, dass das Verhältnis D (Fläche)/D x zwischen y und einem Wert liegt, der sich y nähert (da y + D y sich y nähert, wenn D y gegen 0 geht). Geschrieben in Anlehnung an die Leibniz’sche Definition der Ableitung:

Leibniz hat den umgekehrten Zusammenhang zwischen Differential- und Flächenfunktion gezeigt. Nämlich, dass das Differential der Flächenfunktion einer Funktion y gleich der Funktion selbst ist. In diesem Fall ist die Ableitung der Flächenfunktion von y = x 2 +1 tatsächlich y = x 2 +1.

Der Einfluss von Leibniz auf die Geschichte des Integrals reicht über das Auffinden dieser bahnbrechenden Beziehung hinaus. Er war auch für die Erfindung der Notation verantwortlich, die heute von den meisten Mathematikstudenten verwendet wird. Leibniz benutzte das Symbol ò (so wurde damals einfach "S" geschrieben), um eine unendliche Anzahl von Summen zu bezeichnen. Dies war eng verwandt mit dem, was er das "Integral" oder die Summe einer Anzahl von unendlich kleinen Bereichen nannte. Die Fläche unter einer Funktion y oder Integral von y wurde als ò y (dx) ausgedrückt.

Was die Notation von Leibniz eigentlich aussagte, war, alle Bereiche dx * y zu summieren, wenn dx gegen 0 geht. Wenn dx gegen 0 geht, gibt es eine unendliche Anzahl solcher Bereiche, daher die Symbolik ò, die eine unendliche Anzahl von Summen darstellt. Eine solche Integration wird aufgrund der von Leibniz gefundenen inversen Beziehung auch als unbestimmtes Integral oder Stammfunktion bezeichnet. Das heißt, die Ableitung des unbestimmten Integrals einer Funktion liefert die Funktion selbst. . Leibniz entwickelte auch eine Notation für bestimmte Integrale oder Integrale, die die Fläche unter einer Kurve zwischen zwei Begrenzungswerten erzeugten (anstelle einer symbolischen Antwort). Seine Notation für das bestimmte Integral bestand darin, die unteren und oberen begrenzenden x-Werte mit dem Integralsymbol zu versehen:

Wobei A die von der Stammfunktion erzeugte Flächenfunktion ist. Die Flächenfunktion A wurde nach dem Walliser Gesetz berechnet.


Isaac Newtons Arbeit über Infinitesimalrechnung – Analyse (1711)

Dies ist der erste einer Reihe von Blog-Posts, die bemerkenswerte Bücher aus der seltenen Buchsammlung von SCUA hervorheben, die während der Vorbereitung eines laufenden retrospektiven Katalogisierungsprojekts ans Licht kamen, bei dem Zettelkatalogeinträge in computergestützte Aufzeichnungen für Materialien umgewandelt werden, die vor Beginn der Computerkatalogisierung aufbewahrt wurden. Der nachfolgend beschriebene Titel wurde in einem als Zwischenlager genutzten Lagerraum im Untergeschoss entdeckt. Es ist interessant zu beachten, dass das Exemplar mit einer auf der Rückseite eingeklebten Kassenhülle darauf hinweist, dass es sich zu einer Zeit im früheren Teil des Umlaufbestands der Bibliothek befand.

Sondersammlungen und Universitätsarchive besitzen eine Kopie von Isaac Newtons Analysis per Quantitatum Series, Fluxiones, ac Differentias: cum Enumeratione Linearum Tertii Ordinis (London: Pearson, 1711), die erste Ausgabe des dritten von Newtons wichtigsten Werken über Physik und Mathematik, nach Principia (1687) und Optik (1704).

Isaac Newton hat die Welt verändert, als er die Infinitesimalrechnung erfand. Das ist heute für uns selbstverständlich, aber was Newton im Alter von 24 Jahren erreicht hat, ist einfach erstaunlich. Infinitesimalrechnung wird in Physik, Chemie, Biologie, Wirtschaft, reiner Mathematik, allen Ingenieurszweigen und mehr verwendet. Es ist nicht übertrieben zu sagen, dass Newtons Einblick in die Entwicklung der Infinitesimalrechnung unsere Fähigkeit, neue Zweige der Wissenschaft und Technik zu erschließen, wirklich revolutioniert hat. Es wird bei Problemen verwendet, wenn sich eine Größe als Funktion der Zeit ändert, so verhalten sich die meisten Probleme in der Realität. Als er die Infinitesimalrechnung erfand und ihre Verwendungen skizzierte, gelang Isaac Newton einer der wichtigsten Durchbrüche in der Geschichte der Mathematik, und er ist bis heute von entscheidender Bedeutung.

Newtons eigene Arbeit in der Physik brachte ihn zweifellos zu diesem Problem, und er verspürte das Bedürfnis, es mit einem neuen mathematischen Rahmen zu lösen, den es bis zu diesem Zeitpunkt einfach nicht gab. Sein Fokus auf Schwerkraft und Bewegungsgesetzen ist mit seinem Durchbruch in der Infinitesimalrechnung verbunden.

Newton begann damit, die Geschwindigkeit eines fallenden Objekts zu beschreiben. Dabei stellte er fest, dass die Geschwindigkeit eines fallenden Objekts jede Sekunde zunimmt, es jedoch keine mathematische Erklärung dafür gab. Das Thema Bewegung und Veränderungsgeschwindigkeit war in der Mathematik noch nicht in nennenswertem Maße erforscht, daher sah Newton eine Lücke, die es zu füllen galt. Er begann sofort mit der Arbeit daran und integrierte Planetenellipsen in seine Theorie, um die Umlaufbahn der Planeten zu erklären. Er fand heraus, dass er mithilfe von Infinitesimalrechnung erklären konnte, wie sich Planeten bewegten und warum die Umlaufbahnen der Planeten in einer Ellipse verlaufen. Dies ist eine der großen Offenbarungen Newtons: dass die Gravitationskraft, die uns am Boden hält, dieselbe Kraft ist, die die Planeten dazu bringt, die Sonne zu umkreisen und der Mond die Erde umkreist.

Infinitesimalrechnung wird in allen Bereichen der Mathematik, Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften, Biologie und mehr verwendet. Es gibt eine Menge, die in den Einsatz von Kalkül einfließt, und es gibt ganze Branchen, die sehr stark darauf angewiesen sind. Zum Beispiel wird jeder Sektor, der Grafiken erstellt und sie auf Trends und Veränderungen analysiert, wahrscheinlich auf die eine oder andere Weise Kalkül verwenden. Es gibt insbesondere bestimmte Formeln, die beim Zeichnen von Graphen den Einsatz von Infinitesimalrechnungen erfordern. Und wenn die Dimensionen eines Graphen genau geschätzt werden müssen, wird Kalkül verwendet. Manchmal ist es notwendig, mithilfe verschiedener Berechnungen vorherzusagen, wie die Linie eines Graphen in Zukunft aussehen könnte, und dies erfordert auch den Einsatz von Kalkül. Engineering ist ein Sektor, der Kalkül ausgiebig verwendet. Für verschiedene Formen der Ingenieurplanung müssen oft mathematische Modelle erstellt werden. Gleiches gilt für die Medizinbranche. Alles, was mit Bewegung zu tun hat, wie Fahrzeugentwicklung, Akustik, Licht und Elektrizität, wird ebenfalls viel Kalkül brauchen, weil es unglaublich nützlich ist, um jede Menge zu analysieren, die sich im Laufe der Zeit ändert. Es ist also ziemlich klar, dass es viele Branchen und Aktivitäten gibt, die Kalkül brauchen, um richtig zu funktionieren. Es mag fast 350 Jahre her sein, seit die Idee erfunden und entwickelt wurde, aber ihre Bedeutung und Vitalität hat seit ihrer Erfindung nicht abgenommen.

Newtons erste unabhängige Abhandlung wurde 1669 geschrieben und später 1711 von der Royal Society während des anhaltenden Streits mit Leibniz über die Erfindung der Infinitesimalrechnung veröffentlicht. Diese Schriften dokumentieren Newtons eigene Beiträge zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung. William Jones (1675-1749), ein walisischer Mathematiker, der für seine Verwendung des Symbols π bekannt ist, um das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises darzustellen, schrieb den Prolog und gab diesen Sammelband heraus, der die folgenden Schriften enthält:

  • „De analysi per aequationes numero terminorum infinitas“ (1669 geschrieben und als Manuskript in Umlauf gebracht und hier erstmals veröffentlicht, enthält es die erste gedruckte Darstellung des Binomialsatzes)
  • Zwei Abhandlungen, die erstmals in der veröffentlicht wurden Optik aber 1693 und 1695 geschrieben mit dem Titel „De quadratura curvarum“ und „Enumeratio linearum tertii ordinis“
  • „Methodus differentialis“ (1676 geschrieben und hier erstmals veröffentlicht ist die Grundlage der Berechnung der endlichen Differenzen)
  • „Epistola prior“ und „Epistola posterior“, ein Brief von Newton an Collins vom 8. November 1676 und ein Brief an Wallis vom 27. August 1692.

Newton beschrieben Analyse einem Kollegen als:

„ein Kompendium der Methode dieser [unendlichen] Reihen, in dem ich bekannt geben ließ, dass aus gegebenen Geraden die Flächen und Längen aller Kurven und die Flächen und Volumina aller [gebildeten] Körper bestimmt werden konnten , und umgekehrt konnten mit diesen [angenommen als] gegeben die Geraden bestimmt werden, und ich illustrierte die dort skizzierte Methode durch mehrere Serien.“

Diese Kopie von Analyse ist ein Quarto und hat 101 Seiten mit 7 Vorblättern. Es misst 24 cm hoch. Die Titelseite enthält eine eingravierte allegorische Vignette von Joseph Nutting (1660–1722), einem englischen Kupferstecher, der für seine Porträts in Buchfrontispizen bekannt ist, die ein kleines Porträt von Newton zeigt. Ebenfalls enthalten sind zwei gravierte Tabellen und gravierte Kopf- und Endstücke im gesamten Text. Es ist in meliertem Kalbsleder gebunden und hat einen roten marokkanischen Schriftzug auf dem Rücken.


Inhalt

In den 1670er und 1680er Jahren entwickelten Sir Isaac Newton in England und Gottfried Leibniz in Deutschland gleichzeitig die Infinitesimalrechnung und arbeiteten getrennt voneinander. Newton wollte eine neue Möglichkeit haben, vorherzusagen, wo Planeten am Himmel zu sehen sind, da Astronomie schon immer eine beliebte und nützliche Form der Wissenschaft war und mehr über die Bewegungen der Objekte am Nachthimmel für die Navigation von Schiffen wichtig war. Leibniz wollte den Raum (Fläche) unter einer Kurve (einer nicht geraden Linie) messen. Viele Jahre später stritten sich die beiden Männer darüber, wer es zuerst entdeckt hatte. Wissenschaftler aus England unterstützten Newton, aber Wissenschaftler aus dem Rest Europas unterstützten Leibniz. Die meisten Mathematiker sind sich heute einig, dass sich beide Männer die Ehre zu gleichen Teilen teilen. Einige Teile der modernen Infinitesimalrechnung stammen von Newton, beispielsweise ihre Verwendung in der Physik. Andere Teile stammen von Leibniz, wie die Symbole, mit denen es geschrieben wurde.

Sie waren nicht die ersten, die Mathematik zur Beschreibung der physikalischen Welt verwendeten – Aristoteles und Pythagoras kamen früher, ebenso wie Galileo Galilei, der sagte, Mathematik sei die Sprache der Wissenschaft. Aber sowohl Newton als auch Leibniz waren die ersten, die ein System entworfen haben, das beschreibt, wie sich Dinge im Laufe der Zeit verändern und wie sie sich in Zukunft verändern werden.

Der Name "Calculus" war das lateinische Wort für einen kleinen Stein, den die alten Römer zum Zählen und Spielen verwendeten. Das englische Wort "berechnen" kommt von demselben lateinischen Wort.

Differentialrechnung wird verwendet, um die Änderungsrate einer Variablen zu ermitteln – im Vergleich zu einer anderen Variablen.

In der realen Welt kann es verwendet werden, um die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts zu bestimmen oder zu verstehen, wie Elektrizität und Magnetismus funktionieren. Es ist sehr wichtig für das Verständnis der Physik – und vieler anderer Bereiche der Wissenschaft.

Die Differentialrechnung ist auch für die grafische Darstellung nützlich. Es kann verwendet werden, um die Steigung einer Kurve sowie den höchsten und niedrigsten Punkt einer Kurve (diese werden als Maximum bzw. Minimum bezeichnet) zu finden.

Variablen können ihren Wert ändern. Dies unterscheidet sich von Zahlen, da Zahlen immer gleich sind. Zum Beispiel ist die Zahl 1 immer gleich 1, und die Zahl 200 ist immer gleich 200. Häufig schreibt man Variablen als Buchstaben wie den Buchstaben x: "x" kann an einer Stelle gleich 1 und an einer anderen 200 sein.

Einige Beispiele für Variablen sind Entfernung und Zeit, da sie sich ändern können. Die Geschwindigkeit eines Objekts gibt an, wie weit es sich in einer bestimmten Zeit zurücklegt. Wenn also eine Stadt 80 Kilometer (50 Meilen) entfernt ist und eine Person in einem Auto in einer Stunde dorthin gelangt, hat sie eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 80 Kilometern (50 Meilen) pro Stunde zurückgelegt. Aber dies ist nur ein Durchschnitt: Vielleicht fuhren sie manchmal schneller (z. B. auf einer Autobahn) und manchmal langsamer (z. B. an einer Ampel oder auf einer kleinen Straße, in der Menschen leben). Sicherlich ist es für einen Fahrer schwieriger, die Geschwindigkeit eines Autos nur anhand des Kilometerzählers (Entfernungsmesser) und der Uhr zu ermitteln – ohne Tachometer.

Bis zur Erfindung der Infinitesimalrechnung bestand die einzige Möglichkeit, dies herauszufinden, darin, die Zeit in immer kleinere Stücke zu zerschneiden, sodass die Durchschnittsgeschwindigkeit über die kürzere Zeit der tatsächlichen Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt immer näher kam. Dies war ein sehr langer und harter Prozess und musste jedes Mal durchgeführt werden, wenn die Leute etwas ausarbeiten wollten.

Ein sehr ähnliches Problem besteht darin, die Steigung (wie steil sie ist) an einem beliebigen Punkt einer Kurve zu finden. Die Steigung von a gerade Linie ist einfach zu erarbeiten – es ist einfach, wie viel sie nach oben oder unten geht (ja oder vertikal) geteilt durch den Umfang (x oder waagerecht). Auf einen Kurve, jedoch ist die Steigung eine Variable (hat unterschiedliche Werte an verschiedenen Punkten), da die Linie gebogen wird. Aber wenn die Kurve in sehr, sehr kleine Stücke geschnitten würde, würde die Kurve an der Spitze fast wie eine sehr kurze Gerade aussehen. Um die Steigung zu berechnen, kann eine Gerade durch den Punkt gezogen werden, die die gleiche Steigung wie die Kurve an diesem Punkt hat. Wenn dies genau richtig gemacht wird, hat die Gerade die gleiche Steigung wie die Kurve und wird Tangente genannt. Aber es gibt keine Möglichkeit (ohne komplexe Mathematik), ob die Tangente genau richtig ist, und unsere Augen sind nicht genau genug, um sicher zu sein, ob sie genau oder einfach nur sehr nahe ist.

Was Newton und Leibniz herausfanden, war eine Möglichkeit, die Steigung (oder die Geschwindigkeit im Entfernungsbeispiel) mithilfe einfacher und logischer Regeln genau zu berechnen. Sie teilten die Kurve in unendlich viele sehr kleine Stücke. Dann wählten sie Punkte auf beiden Seiten des Bereichs, an dem sie interessiert waren, und berechneten Tangenten an jedem. Als sich die Punkte zu dem Punkt näherten, an dem sie interessiert waren, wurde die Steigung näherte sich einen bestimmten Wert, wenn sich die Tangenten der tatsächlichen Steigung der Kurve näherten. Der besondere Wert, dem sie sich näherte, war die tatsächliche Steigung.

Die mathematische Schreibweise der Ableitung lautet f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . (x)=lim _>.> [1]

Mathematiker haben diese grundlegende Theorie erweitert, um einfache Algebra-Regeln zu erstellen, die verwendet werden können, um die Ableitung fast jeder Funktion zu finden.

Integralrechnung ist der Prozess der Berechnung der Fläche unter einem Graphen einer Funktion. Ein Beispiel ist die Berechnung der Distanz, die ein Auto zurücklegt: Wenn man die Geschwindigkeit des Autos zu verschiedenen Zeitpunkten kennt und eine Grafik dieser Geschwindigkeit zeichnet, dann ist die Distanz, die das Auto zurücklegt, die Fläche unter der Grafik.

Dazu teilen Sie den Graphen in viele sehr kleine Teile auf und zeichnen dann sehr dünne Rechtecke unter jedem Teil. Je dünner die Rechtecke werden, desto besser decken die Rechtecke den Bereich unter dem Graphen ab. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist leicht zu berechnen, sodass wir die Gesamtfläche aller Rechtecke berechnen können. Für dünnere Rechtecke ist dieser Gesamtflächenwert nähert sich der Bereich unter der Grafik. Der Endwert der Fläche heißt Integral- der Funktion.

In der Mathematik ist das Integral der Funktion f(x) von ein zu B, wird geschrieben als ∫ a b f ( x ) d x f(x),dx> . [1] [3]

Die Hauptidee in der Infinitesimalrechnung wird als Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung bezeichnet. Diese Grundidee besagt, dass die beiden Kalkülprozesse, Differentiation und Integration, invers zueinander sind. [4] Das heißt, eine Person kann durch Differenzierung einen Integrationsprozess rückgängig machen. Auch kann eine Person die Integration nutzen, um eine Differenzierung rückgängig zu machen. Dies ist genauso, als würde man eine Division verwenden, um die Multiplikation rückgängig zu machen, oder eine Addition, um eine Subtraktion rückgängig zu machen.

In einem einzigen Satz lautet der Fundamentalsatz etwa so: "Die Ableitung des Integrals einer Funktion F ist die Funktion selbst".

Infinitesimalrechnung wird verwendet, um Dinge zu beschreiben, die sich ändern, wie Dinge in der Natur. Es kann verwendet werden, um all dies zu zeigen und zu lernen:


Geschichte der Infinitesimalrechnung: Newton & Leibniz

Sir Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz sind zwei der höchsten Intellektuellen des 17. Jahrhunderts. Sie gelten beide als die Erfinder der Infinitesimalrechnung. Nach einem schrecklichen Streit nahm Sir Isaac Newton jedoch den größten Teil des Kredits ein.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) war ein deutscher Philosoph, Mathematiker und Staatsmann, der in Leipzig geboren wurde. Seine Ausbildung erhielt er an den Universitäten Leipzig, Jena und Altdorf. Er promovierte in Rechtswissenschaften. Er widmete einen Großteil seiner Zeit den grundlegenden Studien der Mathematik, Naturwissenschaften und Philosophie.

Leibniz' Beitrag zur Mathematik stammt aus dem Jahr 1675, als er die grundlegenden Prinzipien der Infinitesimalrechnung entdeckte. Zu dieser Entdeckung gelangte er unabhängig zur gleichen Zeit zusammen mit dem englischen Wissenschaftler Sir Isaac Newton im Jahr 1666. Leibniz' System wurde jedoch 1684 veröffentlicht, drei Jahre bevor Newton sein System veröffentlichte. Auch zu dieser Zeit wurde Leibniz's Notationsmethode, die als mathematische Symbole bekannt ist, allgemein übernommen.

Er trug auch 1672 bei, indem er eine Rechenmaschine erfand, die in der Lage war, Quadratwurzeln zu multiplizieren, zu dividieren und zu ziehen. All dies machte ihn zu einem Pionier in der Entwicklung der mathematischen Logik. Sir Isaac Newton ist die andere wichtige Figur in der Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Er war ein englischer Mathematiker und Physiker, der als einer der größten Wissenschaftler der Geschichte galt.

Newton wurde am 25. Dezember 1642 in Woolsthorpe bei Grantham in Lincolnshire geboren. Er besuchte das Trinity College der University of Cambridge. Er erhielt 1665 seinen Bachelor-Abschluss und 1668 seinen Master-Abschluss. Dort ignorierte er jedoch einen Großteil des etablierten Lehrplans der Universität, um seinen eigenen Interessen nachzugehen: Mathematik und Naturphilosophie.

Fast sofort machte er in beiden Bereichen grundlegende Entdeckungen. Newton-Wiederherstellungen setzten sich aus mehreren verschiedenen Dingen zusammen. Es bestand aus kombinierten unendlichen Summen, die als unendliche Reihen bekannt sind.

Es bestand auch aus dem Binomialsatz für gebrochene Exponenten und dem algebraischen Ausdruck der inversen Beziehung zwischen Tangenten und Flächen in Methoden, die wir heute als Infinitesimalrechnung bezeichnen. Allerdings ist die Geschichte nicht so einfach. Da beide Männer sogenannte Universalgenies waren, erkannten sie, dass sie auf unterschiedliche Weise Anspruch darauf hatten, die "Rechnung zu erfinden"

Beide lieferten sich einen heftigen Streit um die Priorität bei der Erfindung der Infinitesimalrechnung. Leider hatte Newton die Oberhand, wenn man bedenkt, dass er der Präsident der Royal Society war. Er nutzte diese Position, um einen Ausschuss auszuwählen, der die ungelöste Frage untersuchen sollte.

Anscheinend hat sich Newton (illegal) in dieses Gremium aufgenommen und einen Falschbericht vorgelegt, der Leibniz des vorsätzlichen Plagiats beschuldigt. Er war auch derjenige, der das Beweisbuch zusammengestellt hatte, das die “society” veröffentlichen sollte.


Es gibt ein bestimmtes Wort mit vier Buchstaben, das vielen Menschen große Angst einjagt: Mathematik. Es hat den Ruf, ein Untertan der Elite zu sein – ein schreckliches, verwirrendes Durcheinander unlogischer Ausdrücke und Regeln, die viele Leute irgendwann aufgeben, sie zu entziffern. Nichtsdestotrotz müssen viele Mathematikstudenten (formelle und informelle) Jahre der Algebra und Arithmetik durchhalten, um einem ganz anderen Tier gegenüberzustehen: der Infinitesimalrechnung.

In Wahrheit Mathematik ist kompliziert und fortgeschritten, und es dauerte Hunderte von Jahren, um diese Sprache zu entwickeln, die das Universum, in dem wir leben, genau beschreiben kann.

Anfangs entstand Mathematik, um Probleme zu lösen und Ergebnisse im Alltag vorherzusagen, und als sich die Menschen mehr für sie interessierten wie die Welt funktionierte, waren sie mit den Grenzen ihrer aktuellen mathematischen Theorien konfrontiert. Aus diesem Grund haben viele Menschen im Laufe der Geschichte daran gearbeitet, neue und bessere Modelle der Natur zu schaffen, die zu fortgeschrittener Mathematik führten. Dies ist auch der Grund, warum Sir Isaac Newton und andere Innovatoren dazu veranlasst wurden, einige der am meisten gefürchteten mathematischen Gleichungen zu erstellen, die wir heute kennen.

Um das Bedürfnis zu verstehen, das Newton nach genauerer Mathematik verspürte, müssen Sie zunächst kurz verstehen, was Mathematik existierte, bevor er auftauchte und alles veränderte.

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In der Antike (um 580-212 v. Bis zu diesem Zeitpunkt wurde Algebra ohne die idealen Werkzeuge wie Plus-, Minus- und Multiplikations-/Divisionssymbole oder ein einfach zu handhabendes Zahlensystem durchgeführt (stellen Sie sich vor, Algebra mit römischen Ziffern zu machen).

In den späten 1500er Jahren vereinheitlichte Rene Descartes die Algebra, die zusammen mit den geometrischen Formen als analytisches Werkzeug verwendet wurde. Er fand heraus, dass ein Punkt auf einer Ebene mit zwei Zahlen beschrieben werden kann, und aus diesen Informationen wurden Gleichungen geometrischer Figuren geboren.

Um die 1670er Jahre entdeckten und entwickelten zwei große Männer – Sir Isaac Newton aus England und Gottfried Wilhelm Leibniz aus Deutschland – die Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander.

Beide Männer arbeiteten ziemlich viel daran, eine Zahlensprache zu entwickeln, die die Natur genau beschreiben konnte. Es ist erwähnenswert, dass Newton die Infinitesimalrechnung entwickelt hat acht Jahre zuvor Leibniz, aber Leibniz ist dafür bekannt, die moderne europäische Mathematik zu entwickeln, weil er sorgfältig gezeichnete Symbole und Regeln eingeführt hat – viele Leute sagen, er sei für die Erstellung des Gleichheitszeichens (=) verantwortlich. Beide Männer behaupteten, der andere habe sie für den Rest ihres Lebens plagiiert, ein Konflikt, der als „großer Schmollen“ bekannt ist.


Anwendungen

Die Anwendung der Infinitesimalrechnung auf Probleme der Physik und Astronomie war zeitgenössisch mit dem Ursprung der Wissenschaft. Das ganze achtzehnte Jahrhundert hindurch wurden diese Anwendungen vervielfältigt, bis Laplace und Lagrange am Ende das ganze Spektrum der Kräfteforschung in den Bereich der Analyse gebracht hatten. Lagrange (1773) verdanken wir die Einführung der Potentialtheorie in die Dynamik, obwohl der Name "Potentialfunktion" und die grundlegenden Memoiren des Themas auf Green (1827, gedruckt 1828) zurückgehen. Der Name „Potential“ geht auf Gauß (1840) zurück, die Unterscheidung zwischen Potential und Potentialfunktion auf Clausius. Mit seiner Entwicklung sind die Namen von Dirichlet, Riemann, von Neumann, Heine, Kronecker, Lipschitz, Christoffel, Kirchhoff, Beltrami und vielen der führenden Physiker des Jahrhunderts verbunden.

Es ist an dieser Stelle unmöglich, auf die große Vielfalt anderer Anwendungen der Analyse auf physikalische Probleme einzugehen. Among them are the investigations of Euler on vibrating chords Sophie Germain on elastic membranes Poisson, Lamé, Saint-Venant, and Clebsch on the elasticity of three-dimensional bodies Fourier on heat diffusion Fresnel on light Maxwell, Helmholtz, and Hertz on electricity Hansen, Hill, and Gyldén on astronomy Maxwell on spherical harmonics Lord Rayleigh on acoustics and the contributions of Dirichlet, Weber, Kirchhoff, F. Neumann, Lord Kelvin, Clausius, Bjerknes, MacCullagh, and Fuhrmann to physics in general. The labors of Helmholtz should be especially mentioned, since he contributed to the theories of dynamics, electricity, etc., and brought his great analytical powers to bear on the fundamental axioms of mechanics as well as on those of pure mathematics.

Furthermore, infinitesimal calculus was introduced into the social sciences, starting with Neoclassical economics. Today, it is a valuable tool in mainstream economics.


Inhalt

Frühes Leben Bearbeiten

Sir Isaac Newton was born (according to the Julian calendar, in use in England at the time) on Christmas Day, 25 December 1642 (N.S. 4 January 1643) "an hour or two after midnight", [6] at Woolsthorpe Manor in Woolsthorpe-by-Colsterworth, a hamlet in the county of Lincolnshire, England. His father, also named Isaac Newton, died three months before his birth. When Newton was three, his mother, Hannah Ayscough, remarried with Reverend Barnabas Smith. Young Newton remained with his maternal grandmother, Margery Ayscough.

From 1655 to 1659, Newton was educated at The King's School, Grantham. [7] When he was seventeen, he was removed from school. His mother tried to make him a farmer, but he did not like that. [8] Henry Stokes, master at The King's School, requested his mother to send him back to school. [9]

In June 1661, he was sent to the University of Cambridge to study. It is sometimes told that Isaac Newton was reading a book under a tree when an apple from the tree fell next to him. This led to his calculations of gravitation.

Early discoveries Edit

In 1666 Sir Isaac Newton experimented with light, and found that different colours had different refractions. He began lecturing on this topic in 1670.

Newton explained the workings of the universe through mathematics. He described laws of motion and gravitation. These laws are math formulas that explain how objects move when a force acts on them. Newton published his most famous book, Principia, in 1687 [5] while he was a mathematics professor at Trinity College, Cambridge. In the Principia, Newton explained three basic laws that govern the way objects move. He then described his idea, or theory, about gravity. Gravity is the force that causes things to fall down. If a pencil fell off a desk, it will land on the floor, not the ceiling. In his book Newton also used his laws to show that the planets revolve around the suns in orbits that are oval, not round. Newton also discovered diffraction. This led him to enter the field of physics, where he prospered.

Newton's Three Laws Of Motion Edit

Following are the three laws of motion.

  1. The first law (Law of Inertia) Newton's first law of motion states is that an object that is not being pushed or pulled by some force will stay still, or will keep moving in a straight line at a steady speed. It is easy to understand that a rocket will not move unless something pushes or pulls it. It is harder to understand that an object will continue to move without help. Think of the rocket again. If someone is flying a rocket and jumps off before the rocket is stopped, what happens? The rocket continues on until it goes into space. The tendency of an object to remain still, or keep moving in a straight line at a steady speed is called inertia.
  2. The second law (Law of Acceleration) The second law explains how a force acts on an object. An object accelerates in the direction the force is moving it. If someone gets on a bicycle and pushes the pedals forward the bicycle will begin to move. If someone gives the bicycle a push from behind, the bicycle will speed up. If the rider pushes back on the pedals the bicycle will slow down. If the rider turns the handlebars, the bicycle will change direction. The formula showing this law is F=m*a, or the force acting on an object is equal to mass times acceleration.
  3. The third law (Law of Reciprocal Actions) The third law states that if an object is pushed or pulled, the object will push or pull equally in the opposite direction. If someone lifts a heavy box, they use force to push it up. The box is heavy because it is producing an equal force downward on the lifter’s arms. The weight is transferred through the lifter’s legs to the floor. The floor presses upward with an equal force. If the floor pushed back with less force, the person lifting the box would fall through the floor. If it pushed back with more force the lifter would fly into the air.

When most people think of Isaac Newton, they think of him sitting under an apple tree watching an apple fall. Some people even believe the apple fell onto his head. Newton understood that what makes things like apples fall to the ground is a specific kind of force — the force we call gravity. Newton thought that gravity was the force of attraction between two objects, such as an apple and the earth. He also thought that an object with more matter exerted the same force on smaller objects as they exerted on it. That meant that the large mass of the earth pulled objects toward it. That is why the apple fell down instead of up, and why people do not float in the air.

Isaac Newton went on thinking about gravity. Before Newton, people thought that only objects near to the earth would fall down. But Newton thought that gravity should not just be limited to the earth and the objects on it. What if gravity went to the moon and beyond?

Newton invented a formula for calculating the force of attraction between two bodies. He used it to calculate the force needed to keep the moon moving around the earth. Then he compared it with the force that made the apple fall downward. After allowing for the fact that the moon is much farther from the earth, and has a much greater mass, he discovered that the forces were the same. The moon is held in an orbit around the earth by the pull of earth’s gravity.

The formula invented by Newton is called the Law of gravitation.

Impact Edit

Sir Isaac Newton’s calculations changed the way people understood the universe. No one had been able to explain why the planets stayed in their orbits. What held them up? Less than 50 years before Isaac Newton was born it was thought that the planets were held in place by an invisible shield. Isaac proved that they were held in place by the sun’s gravity. He also showed that the force of gravity was affected by distance and by mass. He was not the first to understand that the orbit of a planet was not circular, but more elongated, like an oval. What he did was to explain how it worked.

Sir Isaac Newton was the first to discover the laws of gravitation and the laws of motion. He also established a new field in mathematics known as calculus, though the German Gottfried Leibniz had developed the ideas at the same time. His work has greatly contributed in the areas of science and mathematics making him one of the most influential scientists in human history and one of the greatest mathematician of all times.

The great physicist, Albert Einstein, thought that Newton's idea of gravity was not completely accurate. He corrected many of the things that Newton did.

Isaac Newton died on ( 1727-03-31 ) 31 March 1727 [O.S. 20 March 1726] in London, England. [5]

He is buried in Westminster Abbey. [5] He set the stage for many famous physicists to come, such as Albert Einstein, James Chadwick, and Stephen Hawking.


There’s no evidence to suggest the fruit actually landed on his head, but Newton’s observation caused him to ponder why apples always fall straight to the ground (rather than sideways or upward) and helped inspired him to eventually develop his law of universal gravitation.

“Newton cleverly honed this anecdote over time,” said Keith Moore, head of archives at the Royal Society. “The story was certainly true, but let’s say it got better with the telling.” The story of the apple fitted with the idea of an Earth-shaped object being attracted to the Earth.


Newton's Second Law of Motion

Newton's Second Law of Motion states that when a force acts on an object, it will cause the object to accelerate. The larger the mass of the object, the greater the force will need to be to cause it to accelerate. This Law may be written as force = mass x acceleration or:

Another way to state the Second Law is to say it takes more force to move a heavy object than it does to move a light object. Simple, right? The law also explains deceleration or slowing down. You can think of deceleration as acceleration with a negative sign on it. For example, a ball rolling down a hill moves faster or accelerates as gravity acts on it in the same direction as the motion (acceleration is positive). If a ball is rolled up a hill, the force of gravity acts on it in the opposite direction of the motion (acceleration is negative or the ball decelerates).


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